关于初中数学方程题的一些转化策略

所谓的转化策略，就是在解题过程中，不断改变解题方向，从不同的角度、不同的侧面去探讨问题的解法，寻找最佳方法。在转化过程中应遵循三个基本原则：熟悉化原则即将陌生的问题转化为熟悉的问题；简单化原则即将复杂的问题转化为简单的问题；直观化原则即将抽象问题转化为具体问题。
转化策略在初中数学解题中有广泛的应用，特别是某些关于方程的问题，适当的运用转化策略对开拓学生思维、提高学生学习数学的兴趣有很大的帮助，现举一些实例略作说明。
        一、 未知与已知的转化
    已知与未知是相对的，在一定条件下，未知的可以看成已知，已知的可以视为未知，这种看法上的转化，往往可以帮助我们迅速找出解题方向。
    例1：求一元二次方程10x-12xy+5y-4x-6y+13=0的所有实数解。
    分析：原方程中的x、y都是未知数，一个方程含有两个未知数是不易求解的，但若将y看成已知数，则所给方程便转化为关于x的二次方程，求解也就是很容易的事了。
    解：将原方程化为关于x的二次方程10x-4(3y+1)x+5y-6y+13=0，因为x为实数，所以 △ =16(3y+1)-4×10×(5y-6y+13)≥0，即(y-3)≤0,所以y=3。把y=3代入原方程，得x=2。故原方程的解是x=2, y=3。
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    注：原方程虽可配方为(x-2)+(y-3)+(3x-2y)=0，用非负数的性质去解，但配方的过程有一定难度，比较复杂。
   二、 主元与辅元的转化
    主元与辅元是人为的，当确定某一元素为主元时，则其他元素就是辅元。
    例2：已知关于x的方程x-ax-2ax+a-1=0有且仅有一个实根，求实数a的范围。
    分析：显然，题目中x是主元，a为辅元，但方程中x的最高次数是3，求根稍有难度。注意到a的最高次数是2，可将a视为主元，这样一来原方程就转化为关于a的二次方程，求解便显得简单了。
    解：把原方程化为以a为主元的二次方程得：a-(x+2x)a+x-1=0，解得a=x-1或a=x+x+1,所以x=a+1或x+x+1-a=0。因为原方程有唯一实数根，显然这个根就是a+1,方程x+x+1-a=0无实根（否则与题设矛盾）。所以 △ =1-4(1-a)<0,  即a< 
    三、 高次与低次的转化
    一般地，解高次方程（不等式），都要设法将未知数的次数降低，以达到便于求解的目的。
    例3：解方程2(x-6x+1)+5(x-6x+1)(x+1)+2(x+1)=0
    分析：这是一个高次方程，直接展开求解无疑是复杂的。若采取换元法，则可把高次转化为低次。
    解：因x+1≠0,则原方程可化为2（            ）+5（        ）+2=0
    设y=             ，则原方程转化为2y+5y+2=0，所以
    y=—2，y=—
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    当y= -2时，即           = -2时，得x =x =1；当y = -      时，即              ＝-    时，得x ＝2＋     ，x  =2－      。
    注：因为x  +1≠0，所以上述变形是同解变形，故求出的四个根都是原方程的解。
    四、 常数（量）与变数（量）的转化
        常数（量）与变数（量）是一对矛盾，但在一定条件下也可以相互攀比。因此，有些问题的处理不妨视变数（量）为常数（量），视常数（量）为变数（量），以达到易于求解的目的。
   例4：解方程 x  +     x  +（2     —1）x +3—      =0
        分析：这里x的最高次数是3，直接解这样一个一元三次方程是比较困难的。考虑到方程中的有关系数（如        且 
3 = （      ）    ），可以改变角度，把变数x看作常数，而将常数3、    看成变数，则原方程可化为
（    ）  +（x  —2x—1）      + x  — x =0
此方程是以      为“未知数”的一个二次方程，容易求得
      =                                   =              ，
方程x + x +       =0 无实根，故     =1 —x ，即x = 1—
    五、 正面与反面的转化
    所谓“正面”求解就是直接从条件入手，进行“强攻”，但有时可能会相当棘手。这时候可以采取迂回曲折的方法，即所谓“反面”求解，它是一种间接的解题方法。（注意：反面求解法不一定是反证法。）
    例5：若方程x + x+ m =  0 与 x - (m-1)x +     = 0中至少有一个方程有实数根，求m的取值范围。
  
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         分析：本题若从正面着手，则可能要分三种情况讨论。如果从反面思考，即两个方程都没有实根，则 △   =1- 4m<0,且△    = m - 2m <0  求得     <m<2，而m为实数，故其反面为
　m ≤　　或　m≥2    ，所以当m ≤    或m ≥2时  至少有一个方程有实数根。
        初中数学关于方程题的转化策略涉及的内容是多方面的，本文仅列举了数种情况。在教学中，只要我们注意教学生掌握“转化”策略，并且善于将问题进行转化，学生的解题能力和学习的兴趣一定会大有提高。

 

 

 

 

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