溪尤秘书 发表于 2009-3-30 09:34:05

关于初中数学方程题的一些转化策略

<P>所谓的转化策略，就是在解题过程中，不断改变解题方向，从不同的角度、不同的侧面去探讨问题的解法，寻找最佳方法。在转化过程中应遵循三个基本原则：熟悉化原则即将陌生的问题转化为熟悉的问题；简单化原则即将复杂的问题转化为简单的问题；直观化原则即将抽象问题转化为具体问题。<BR>转化策略在初中数学解题中有广泛的应用，特别是某些关于方程的问题，适当的运用转化策略对开拓学生思维、提高学生学习数学的兴趣有很大的帮助，现举一些实例略作说明。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 一、&nbsp;未知与已知的转化<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 已知与未知是相对的，在一定条件下，未知的可以看成已知，已知的可以视为未知，这种看法上的转化，往往可以帮助我们迅速找出解题方向。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 例1：求一元二次方程10x-12xy+5y-4x-6y+13=0的所有实数解。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 分析：原方程中的x、y都是未知数，一个方程含有两个未知数是不易求解的，但若将y看成已知数，则所给方程便转化为关于x的二次方程，求解也就是很容易的事了。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 解：将原方程化为关于x的二次方程10x-4(3y+1)x+5y-6y+13=0，因为x为实数，所以 △ =16(3y+1)-4×10×(5y-6y+13)≥0，即(y-3)≤0,所以y=3。把y=3代入原方程，得x=2。故原方程的解是x=2, y=3。<BR>—1—<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 注：原方程虽可配方为(x-2)+(y-3)+(3x-2y)=0，用非负数的性质去解，但配方的过程有一定难度，比较复杂。<BR>&nbsp;&nbsp; 二、&nbsp;主元与辅元的转化<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 主元与辅元是人为的，当确定某一元素为主元时，则其他元素就是辅元。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 例2：已知关于x的方程x-ax-2ax+a-1=0有且仅有一个实根，求实数a的范围。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 分析：显然，题目中x是主元，a为辅元，但方程中x的最高次数是3，求根稍有难度。注意到a的最高次数是2，可将a视为主元，这样一来原方程就转化为关于a的二次方程，求解便显得简单了。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 解：把原方程化为以a为主元的二次方程得：a-(x+2x)a+x-1=0，解得a=x-1或a=x+x+1,所以x=a+1或x+x+1-a=0。因为原方程有唯一实数根，显然这个根就是a+1,方程x+x+1-a=0无实根（否则与题设矛盾）。所以 △ =1-4(1-a)&lt;0,&nbsp; 即a&lt;&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 三、&nbsp;高次与低次的转化<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 一般地，解高次方程（不等式），都要设法将未知数的次数降低，以达到便于求解的目的。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 例3：解方程2(x-6x+1)+5(x-6x+1)(x+1)+2(x+1)=0<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 分析：这是一个高次方程，直接展开求解无疑是复杂的。若采取换元法，则可把高次转化为低次。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 解：因x+1≠0,则原方程可化为2（&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ）+5（&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ）+2=0<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 设y=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ，则原方程转化为2y+5y+2=0，所以<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; y=—2，y=—<BR>—2—&nbsp;&nbsp;&nbsp; </P><P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 当y= -2时，即&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = -2时，得x =x =1；当y = -&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 时，即&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ＝-&nbsp;&nbsp;&nbsp; 时，得x ＝2＋&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ，x&nbsp; =2－&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 注：因为x&nbsp; +1≠0，所以上述变形是同解变形，故求出的四个根都是原方程的解。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 四、&nbsp;常数（量）与变数（量）的转化<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 常数（量）与变数（量）是一对矛盾，但在一定条件下也可以相互攀比。因此，有些问题的处理不妨视变数（量）为常数（量），视常数（量）为变数（量），以达到易于求解的目的。<BR>&nbsp;&nbsp; 例4：解方程 x&nbsp; +&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; x&nbsp; +（2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; —1）x +3—&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =0<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 分析：这里x的最高次数是3，直接解这样一个一元三次方程是比较困难的。考虑到方程中的有关系数（如&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 且&nbsp; <BR>3 = （&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ）&nbsp;&nbsp;&nbsp; ），可以改变角度，把变数x看作常数，而将常数3、&nbsp;&nbsp;&nbsp; 看成变数，则原方程可化为<BR>（&nbsp;&nbsp;&nbsp; ）&nbsp; +（x&nbsp; —2x—1）&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; + x&nbsp; — x =0<BR>此方程是以&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 为“未知数”的一个二次方程，容易求得<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ，<BR>方程x + x +&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =0 无实根，故&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; =1 —x ，即x = 1—<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 五、&nbsp;正面与反面的转化<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 所谓“正面”求解就是直接从条件入手，进行“强攻”，但有时可能会相当棘手。这时候可以采取迂回曲折的方法，即所谓“反面”求解，它是一种间接的解题方法。（注意：反面求解法不一定是反证法。）<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 例5：若方程x + x+ m =&nbsp; 0 与 x - (m-1)x +&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 0中至少有一个方程有实数根，求m的取值范围。<BR>&nbsp;&nbsp; <BR>—3—<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 分析：本题若从正面着手，则可能要分三种情况讨论。如果从反面思考，即两个方程都没有实根，则 △&nbsp;&nbsp; =1- 4m&lt;0,且△&nbsp;&nbsp;&nbsp; = m - 2m &lt;0&nbsp; 求得&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &lt;m&lt;2，而m为实数，故其反面为 <BR>　m ≤　　或　m≥2&nbsp;&nbsp;&nbsp; ，所以当m ≤&nbsp;&nbsp;&nbsp; 或m ≥2时&nbsp; 至少有一个方程有实数根。<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 初中数学关于方程题的转化策略涉及的内容是多方面的，本文仅列举了数种情况。在教学中，只要我们注意教学生掌握“转化”策略，并且善于将问题进行转化，学生的解题能力和学习的兴趣一定会大有提高。</P><P>&nbsp;</P><P>&nbsp;</P><P>&nbsp;</P><P>&nbsp;</P><P>—4—</P>
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